1.5 Теорема Oстроградського - Гаусса.

     Цю теорему формулюють так: потік вектора напруженості електричного поля через довільну замкнуту поверхню у вакуумі дорівнює алгебраїчній сумі зарядів всередині цієї поверхні, поділеній на електричну сталу

     Для доведення цієї теореми розлянемо спочатку точковий заряд , що знаходиться в центрі сферичної поверхні радіусом . Тоді, відповідно до формули (1.8). одержимо

               (1.9)

     Для вcix точок поверхні сфери виконуються умови:

           (1.10)

     Використовуючи (1.9) та (1.10). одержимо:

     Потік не зміниться, якщо переміщувати заряд всередині повеpxні: змінювати форму та розміри замкнутої поверхні. Це зумовлено тим, що не змінюється заряд та кількість ліній напруженості поля цього заряду. Розміщення всередині замкнутої поверхні системи зарядів є причиною виникнення напруженостей та відповідних потоків . Toді, внаслідок принципу суперпозиції (1.4):

     Якщо електричне поле створюється зарядами, розподіленими в просторі з певною об'ємною густиною , то заряд об'єму , який обмежує вибрана замкнута поверхня дорівнює:

     де

     В цьому випадку теорему Остроградського - Гаусса можна записати в інтегральному вигляді:

                    (1.11)

     Зменшуючи розміри замкнутої поверхні в (1.11), зменшуємо i об'єм обмежений цією поверхнею, який наближається до точки. Тоді праву частину (1.11) можна записати так:

               (1.12)

     де - середня об'ємна густина заряду в малому об'ємі . Поділимо рівняння (1.11) на об'єм , який обмежує поверхня , та знайдемо границю при

               (1.13)

     Величина, що знаходиться в лівій частині цього рівняння називається дивергенцією вектора та позначається:

                    (1.14)

     За означениям дивергенція вектора - границя відношення потоку вектора до об'єму , з якого витікає цей потік, якщо об'єм , (тобто об'єм перетворюється в точку). Тоді дивергенція - скалярна величина, яка дорівнює питомій потужності джерела поля в цій точці. Означення (1.14) дивергенції вектора не залежить від вибору системи координат, але вираз для дивергенції, як скалярної функції координат, буде різним в різних системах координат. В декартовій системі координат

     Цей вираз можна записати інакше, якщо ввести векторний диференціальний оператор набла (оператор Гамільтона):

     Toді дивергенція вектора дорівнює скалярному добутку оператора на вектор :

     В правій частині рівняння (1.13) при наближенні об'єму до нуля одержимо (враховуючи (1.12)): середня об'ємна густина заряду наближається до - об'ємної густини заряду в даній точці. Тоді (1.13) запишемо

                         (1.15)

     Рівняння (1.15) - теорема Остроградського-Гаусса в диференціальному вигляді: дивергенція вектора для деякої точки поля дорівнює об'ємній густині заряду в цій точці, поділеній на електричну сталу .