1.7 Взаємозв'язок напруженості та потенціалу.

     Перемістимо заряд вздовж деякої лінії між двома точками, різниця потенціалів яких дорівнює . Тоді роботу по переміщенню заряду знайдемо за формулами:

     Звідки одержимо

     а після інтегрування:

     (1.22)

     Інтеграл (1.22) можна взяти вздовж будь-якої лінії, яка з'єднує точки 1 та 2, адже робота сил електростатичного поля не залежить від форми траєкторії. Якщо точки 1 та 2 в (1.22) збігаються, то криволінійний інтеграл беремо по замкнутому контуру, а :      (1.23)

     Інтеграл (1.23) називають циркуляцією вектора . Тобто циркуляція вектора напруженості електростатичного поля дорівнює нулю. Умова (1.23) є необхідною та достатньою умовою потенціальності електростатичного поля.

     Сила, що діє на пробний заряд в полі, дорівнює

     Потенціальна енергія цього заряду в полі -

     З механіки відомо, що сила та потенціальна енергія пов'язані формулою

де

     Тоді для електростатичного, поля

або

     (1.24)

     Напруженість електростатичного поля дорівнює градієнту потенціалу, взятому із знаком мінус. Зауважимо, що векторне рівняння (1.24) можна записати як три скалярних:

     Скалярний добуток , де -проекція вектора напруженності на напрямок , .Тоді

     (1.25)     

     Тобто проекція вектора напруженості на довільний напрямок дорівнює швидкості зменшення потенціалу при переміщенні в напрямі .

     Формули (1.22), (1.24), (1.25) виражають взаємозв'язок силової характеристики - напруженості та енергетичної характеристики поля - потенціалу.