Алгебра множеств

     Множество всех подмножеств универсального множества U с заданными на нем четырьмя операциями составляют алгебру множеств.
     В общем случае алгебру может составлять любой класс подмножеств универсального множества U, замкнутый относительно всех четырех операций. Более того, если универсальное множество U содержится в , то α относительно двух операций отношения (U) и разности (\),чтобы все остальные операции над множествами из α снова давали множества из α. Поэтому определение из алгебры, не содержащее избыточных (точнее, зависимых) ограничений, выглядит следующим образом.

     Определение. Класс множеств α называется алгеброй (множеств), если
1. ,
2.Если А, , то ,
3.Если А, , то .

     Алгебра множеств широко применяется в программировании, в частности при работе с разнообразными базами данных и составляет основу для построения многих математических структур. Вместе с тем, что алгебра множеств имеет основополагающее значение в математике, она очень проста и близка к реальной жизни. Мы ежедневно применяем операции и законы алгебры множеств, не задумываясь об этом. Мы вычитаем из множества задач, которые необходимо решить, множество решенных и приступаем к решению оставшихся. Из них мы, вероятно, в первую очередь выберем те, которые относятся к множеству легких. Мы готовим завтрак, определяя пересечение множества имеющихся продуктов с множеством продуктов, которые нам нравятся. Да и вообще, вся наша жизнь проходит среди множеств, которые как-то взаимосвязаны.
     Мы имеем достаточно операций, чтобы составлять сложные алгебраические выражения. Для этого необходимо определить, каким приоритетом обладают операции относительно друг друга.