Универсальное и пустое множества

     Определение. Универсальным называется множество, которое содержит все возможные элементы, встречающиеся в данной задаче. Универсальное множество обозначается символом U.

     Заметим, что универсальное множество U может отличаться для каждой отдельной задачи и определяется в условии задачи.

     Определение. Пустым называется такое множество, которое не содержит никаких элементов. Пустое множество обозначается специальным символом .

     Роль пустого множества аналогична роли числа нуль. Это понятие можно использовать для определения заведомо несуществующей совокупности элементов (например, множества зеленых слонов). Более существенным мотивом введения пустого множества является то, что заранее не всегда известно (или неизвестно вовсе) существуют ли элементы, определяющие какое-то множество. Например, множество выигрышей в следующем тираже спортлото на купленные билеты может оказаться пустым. Пустое множество является подмножеством любого множества, т.е. , где А - любое множество. Следует помнить, что пустое множество является множеством, поэтому если некоторое множество A не содержит ни одного элемента, то . Запись означает, что A содержит один элемент - , .
     Таким образом, любое непустое множество обязательно имеет, как минимум, два подмножества - пустое множество и само это множество. Большое значение для решения многих задач имеет исследование всех возможных подмножеств некоторого множества.

     Определение. Множество всех подмножеств множества X назовем множеством-степенью X или булеан Х и обозначим P(X).