Примеры решения типовых задач

     1. Записать множество Е, если , причем А={2, 4, 6, 8, 10, 12}, B={3, 6, 9, 12}.
     Решение.
      есть не что иное, как объединение множеств А и В, т.е. множество Е будет состоять из элементов, принадлежащих как множеству А, так и множеству В: Е={2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}.

     2. Записать множество , если А={2, 4, 6, 8, 10, 12}, B={3, 6, 9, 12}.
     Требуется выполнить операцию пересечения т.е. множество Е будет состоять только из элементов, одновременно входящих как в множество А, так и в множество В: Е={6, 12}.

     3. Записать множество , если А={2, 4, 6, 8, 10, 12}, B={3, 6, 9, 12}.
     Требуется выполнить операцию разности т.е. множество Е будет состоять из всех элементов множества А, не принадлежащих В: Е={2, 4, 8, 10}.

     4. Записать множество , если А={2, 4, 6, 8, 10, 12}, B={3, 6, 9, 12}.
     Из предыдущего примера имеем . Для получения окончательного ответа требуется выполнить операцию дополнения т.е. множество Е будет состоять из элементов множества В: Е={3, 6, 9, 12}.

     5. Проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера следующую формулу:
     Выполняя действие в скобках получим:

     После этого получаем А\Е т.е. необходимо выделить участок множества А, не принадлежащий множеству Е. Ответ примет форму:

     6. Проиллюстрировать с помощью Диаграмм Венна верность тождества:

.

     Проиллюстрируем левую часть тождества, обозначив сначала объединение множеств В и С,

      затем пересечение множеств А и . Окончательный вид левой части:

     Теперь проиллюстрируем правую часть:

     окончательный вид правой части:

     Как видим диаграммы совпадают, следовательно тождество верно.

     7. По диаграмме Венна записать формулу:

     Запишем сначала ,

     затем , получим:

     8. Доказать
     Решение.

,

     по закону да Моргана и закону дистрибутивности

     9. Доказать, что , где А и В - множества.
     Решение. - по определению операции разности.
     Подставим выражение в формулу и вынесем А за скобки:

     10. Доказать, что тогда и только тогда, когда иначе .
Решение. Пусть U - универсальное множество, тогда .
     Покажем, что .
     Пусть .
     Покажем, что .
     Пусть .
     Отсюда следует, что .